Introducción a las Ecuaciones de la Física Matemática

Abstract

Un conjunto importante de ideas en matemáticas se deriva del entendimiento de fenómenos físicos, en particular, las ecuaciones diferenciales pueden ser entendidas como el lenguaje adecuado para formular dichas ideas. A la inversa, la investigación en matemáticas favorece el desarrollo de nuevos avances en la ciencia. Sobre los años, matemáticos y científicos extienden sus métodos para incluir todas las áreas de la ciencia y la tecnología, y emerge el paradigma del modelamiento matemático. Un modelo matemático es una ecuación, o un conjunto de ecuaciones, cuyas soluciones describen el comportamiento físico de un sistema. En este contexto, por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell forman un modelo para los fenómenos eléctricos y magnéticos. En el anterior caso, como en muchos otros, las ecuaciones diferenciales obedecen a observaciones físicas. En general, un modelamiento matemático incluye la observación, selección de las variables físicas, formulación de las ecuaciones y finalmente, validación del modelo para realizar predicciones. Las ecuaciones diferenciales parciales se utilizan para modelar la gran mayoría de problemas físicos relacionados con la ingeniería, estos problemas son frecuentes en áreas tales como dinámica, elasticidad, transferencia de calor, electromagnetismo, entre otros, los fenómenos más estudiados son aquellos relacionados con comportamientos oscilatorios, de difusión y aquellos estables o independientes del tiempo. Este texto pretende abordar las ecuaciones diferenciales parciales más relevantes de la física matemática: la ecuación de onda y la ecuación del calor; mediante la teoría suministrada por las Series de Fourier, haciendo uso del método de las variables separables y de la teoría de Sturm Liouville. Cabe resaltar que existen otros enfoques adecuados para resolver estas ecuaciones diferenciales parciales, pero nos hemos inclinado por este camino para que el estudiante de ingeniería aprecie la importancia y el sentido de las matemáticas estudiadas a nivel de pregrado. Esperamos que el lector aprenda y disfrute esta manera clásica de resolver los problemas ya mencionados, a la vez que relaciona temas de diversas asignaturas de matemáticas y resuelve los ejercicios planteados en el texto.